Partie II — Les atomes premiers

Ouverture

Toute théorie nomme ce dont elle parle. Cette nomination est sa première opération, et elle conditionne tout ce qui suit. La rigueur d’une théorie tient en partie à la clarté avec laquelle elle identifie ses objets primitifs.

La présente théorie nomme deux atomes : les notions et les contextes. Ces deux ensembles sont posés comme primitifs : ils existent comme données premières du discours théorique, et ils servent de base à toutes les constructions ultérieures. Tout ce que la théorie développe par la suite (occurrences, mouvements, structures, lisibilités, régimes) se construit à partir de ces deux atomes et des relations qui les unissent.

Cette parcimonie originaire constitue une décision philosophique forte. Elle affirme que deux ensembles atomiques suffisent à fonder une théorie générale du mouvement des structures. Elle se distingue des approches qui multiplient les primitives initiales (substance, attribut, relation, propriété, fonction, état) au risque de produire des architectures conceptuelles dont la cohérence interne devient difficile à établir. Elle se distingue également des approches qui réduisent toute primitive à une seule (par exemple, le pur événement, ou le pur processus) au risque de perdre les distinctions opératoires qui rendent la théorie utilisable. En posant deux atomes irréductibles, la théorie occupe une position qui assume la dualité constitutive sans la démultiplier.

L’occurrence apparaît alors comme la première construction de la théorie. Elle se définit comme couple ordonné notion-contexte. L’occurrence est l’appariement ordonné de la notion et du contexte, qui produit un objet de nature distincte de ses composants pris isolément. La notion seule, dans la perspective de la théorie, est un élément de 𝓝 dont le rôle est d’être inscriptible ; le contexte seul est un élément de 𝓚 dont le rôle est d’être enveloppe environnementale ; chacun conserve son identité propre dans son ensemble d’origine. Cette dualité constitutive de l’occurrence reflète, dans le formalisme, la décision philosophique posée par l’avant-propos selon laquelle la structure précède l’objet, et selon laquelle les objets sont saisis à travers des occurrences situées.

La présente partie pose successivement les deux ensembles atomiques (Section 1), l’ensemble des occurrences comme produit cartésien (Section 2), la relation primitive d’inscription qui fonde le sens (Section 3), la définition du sens d’une occurrence comme satisfaction de l’inscription (Section 4), et le domaine signifiant comme sous-ensemble des occurrences signifiantes (Section 5). Elle articule enfin ces acquis avec les développements ultérieurs (Section 6) avant de conclure (Section 7).

Section 1 — Notions et contextes comme atomes premiers

1.1 Notations en présence

Cette section introduit les deux ensembles fondateurs de la théorie. La notation 𝓚 a été utilisée dans la Partie I pour désigner l’ensemble des contextes ; elle est ici reprise et complétée par l’introduction de l’ensemble des notions.

L’ensemble des notions est noté 𝓝. L’ensemble des contextes est noté 𝓚. Une notion particulière est notée n, éventuellement indicée : n₁, n₂, n_i. Un contexte particulier est noté κ, éventuellement indicée : κ₀, κ₁, κ_r.

1.2 Énoncé condensé

Définition 4 (notions et contextes) : Les notions et les contextes sont les deux ensembles atomiques de la théorie.

Formellement :

𝓝 = {n | n est une notion}. 𝓚 = {κ | κ est un contexte}.

Ces deux ensembles existent comme données premières du discours théorique. Leurs éléments sont identifiés par leur rôle dans la théorie, et tout développement ultérieur s’appuie sur eux comme fondations atomiques. Ils se distinguent ainsi des ensembles dérivés, qui se définissent par construction interne à partir d’autres ensembles.

1.3 Énoncé détaillé

Une notion est un objet de pensée susceptible d’être inscrit dans un contexte. Cette caractérisation reste volontairement large. Elle pose la notion comme ce qui peut entrer dans une relation d’inscription avec un contexte, sans préjuger de sa nature ontologique (concept abstrait, entité concrète, propriété, action, relation), ni de son origine (mathématique, physique, organisationnelle, technique).

Un contexte, tel qu’il a été défini dans la Partie I, est une enveloppe environnementale qui conditionne la manifestation des entités et des relations. Il se caractérise par un ensemble de composants qui peuvent être présents simultanément ou partiellement.

La distinction entre notion et contexte est fondamentale. Une notion est ce qui se manifeste ; un contexte est ce dans quoi quelque chose se manifeste. Cette distinction reflète l’intuition selon laquelle la manifestation effective procède de l’articulation de deux pôles distincts, et non d’un terme unique pris en lui-même.

1.4 Conséquences

Lemme 4.1 : Les ensembles 𝓝 et 𝓚 sont disjoints.

Démonstration. Une notion et un contexte sont par définition des objets de natures différentes. Une notion est ce qui s’inscrit ; un contexte est ce dans quoi quelque chose s’inscrit. Si un même objet appartenait simultanément à 𝓝 et à 𝓚, il devrait être à la fois ce qui s’inscrit et ce dans quoi quelque chose s’inscrit, ce qui n’a pas de sens dans la théorie posée. La disjonction est donc une conséquence directe de la distinction conceptuelle entre les deux atomes premiers. ∎

Lemme 4.2 : Les ensembles 𝓝 et 𝓚 sont ouverts.

Démonstration. La théorie pose 𝓝 et 𝓚 comme ensembles dont la cardinalité reste libre, et dont les conditions d’admission de nouveaux éléments restent ouvertes. Toute notion effectivement rencontrée dans une situation s’ajoute à 𝓝 par reconnaissance de son rôle d’objet inscriptible. Tout contexte effectivement rencontré s’ajoute à 𝓚 par reconnaissance de son rôle d’enveloppe environnementale. Cette ouverture est cohérente avec le principe d’orientation énoncé dans l’avant-propos : la théorie refuse toute totalisation implicite. ∎

Proposition 4.3 : Les ensembles 𝓝 et 𝓚 sont indépendants l’un de l’autre.

Démonstration. La définition de 𝓝 est posée sans référence à 𝓚, et inversement. Une notion peut être identifiée comme telle indépendamment de tout contexte particulier, et un contexte peut être caractérisé indépendamment des notions qui s’y inscrivent. Cette indépendance n’exclut pas que les deux ensembles entrent en relation par l’inscription, qui sera introduite dans la Section 3, mais elle assure que cette relation est posée entre des entités préalablement distinctes, et non entre des aspects d’une même entité. ∎

1.5 Commentaire

Le caractère atomique de 𝓝 et 𝓚 mérite d’être explicité. Atomique signifie ici que ces ensembles sont posés directement, comme données premières du discours, sans construction interne à partir d’ensembles plus fondamentaux. Ils se distinguent ainsi des ensembles construits par opérations classiques (réunion, intersection, produit cartésien, parties), et des ensembles dérivés d’un univers de discours préalable.

Cette posture peut sembler radicale en regard d’autres approches. La théorie des ensembles classique pose habituellement un univers global dans lequel tous les ensembles sont des constructions. La théorie des catégories pose un objet et des morphismes comme primitifs, mais les définit habituellement par des axiomes structurants. La présente théorie pose deux ensembles sans les axiomatiser : leurs éléments sont identifiés par leur rôle dans la théorie (notion comme ce qui s’inscrit, contexte comme ce dans quoi quelque chose s’inscrit), et la suite du déploiement formel les caractérise progressivement par les relations qui les mobilisent.

Cette posture s’explique par la décision philosophique fondamentale énoncée dans l’avant-propos : la structure précède l’objet, et les propriétés habituellement considérées comme primitives apparaissent comme des effets conditionnels. La théorie laisse les propriétés de 𝓝 et 𝓚 se déployer à mesure que les relations sont introduites, plutôt que de les fixer a priori par une axiomatisation préalable.

Le lemme 4.1 sur la disjonction des deux ensembles mérite également une attention particulière. La disjonction est constitutive de la définition même des deux atomes, plutôt qu’un théorème démontré à partir de propriétés indépendantes. Une fois reconnue cette disjonction, la théorie peut articuler sans ambiguïté les rôles respectifs de la notion et du contexte dans la formation de l’occurrence.

1.6 Exemples multidomaines

En mathématiques. Les notions mathématiques incluent les concepts de base d’une théorie : nombre, ensemble, fonction, espace, groupe, catégorie. Les contextes mathématiques incluent les cadres axiomatiques et les régimes de validité : ZFC, théorie des types, mathématiques constructives, géométrie euclidienne, géométrie hyperbolique. La notion de « fonction continue » est une notion ; elle peut s’inscrire dans le contexte de l’analyse réelle, dans celui de la topologie générale, dans celui de la théorie des catégories. La même notion occupe des positions différentes selon le contexte d’inscription, sans que sa formulation symbolique soit altérée. La distinction entre 𝓝 et 𝓚 est ici concrètement opératoire.

En physique. Les notions physiques incluent les concepts qui décrivent le monde matériel : masse, énergie, force, champ, particule, onde. Les contextes physiques incluent les régimes de validité des théories : mécanique classique, relativité restreinte, mécanique quantique, électromagnétisme. La notion de « particule » est une notion ; elle s’inscrit différemment selon le contexte. Dans le contexte classique, elle est un objet de position et de quantité de mouvement déterminées. Dans le contexte quantique, elle est un objet décrit par une fonction d’onde, dont les attributs ne sont pas tous simultanément déterminés. La même notion conserve son identité formelle tout en variant d’inscription.

En organisations complexes. Les notions organisationnelles incluent les concepts qui structurent l’activité collective : fonction, mission, processus, autorité, ressource, décision. Les contextes organisationnels incluent les régimes d’opération : production normale, gestion de crise, audit, transformation, période transitoire. La notion d’« autorisation » est une notion ; elle s’inscrit différemment selon le contexte. Dans le contexte de production normale, elle suit des circuits établis et des délégations stables. Dans le contexte de gestion de crise, elle peut être déléguée d’urgence à des niveaux normalement non habilités. La distinction entre la notion et le contexte permet de comprendre pourquoi une même autorisation, identique dans son énoncé, n’a pas le même statut selon le régime d’opération.

En systèmes d’information. Les notions informatiques incluent les concepts qui structurent les données et les traitements : entité, attribut, identifiant, requête, transaction, règle. Les contextes informatiques incluent les régimes d’usage du système : production, test, développement, audit, migration. La notion d’« identifiant client » est une notion ; elle s’inscrit différemment selon le contexte. Dans le contexte de production, elle pointe vers un client actif, mobilisable dans des transactions courantes. Dans le contexte d’audit, elle peut pointer vers un enregistrement archivé, consultable mais non modifiable. La même notion, identique dans sa structure, occupe des positions différentes selon le contexte qui la rend opérante.

Section 2 — L’occurrence comme couple ordonné

2.1 Notations en présence

Dans cette section interviennent : 𝓝 l’ensemble des notions, 𝓚 l’ensemble des contextes.

L’ensemble des occurrences est noté Ω. Une occurrence particulière est notée ω, éventuellement indicée : ω₁, ω₂, ω_i.

2.2 Énoncé condensé

Définition 5 (occurrence) : L’ensemble des occurrences est défini comme le produit cartésien de l’ensemble des notions par l’ensemble des contextes.

Formellement :

Ω := 𝓝 × 𝓚.

Une occurrence ω ∈ Ω est un couple ordonné ω = (n, c) avec n ∈ 𝓝 et c ∈ 𝓚.

2.3 Énoncé détaillé

L’occurrence est la première construction de la théorie qui articule les deux atomes premiers. Elle est constituée par l’appariement ordonné d’une notion n et d’un contexte c, et elle existe comme objet de nature propre, distincte de chacun de ses composants pris isolément.

Le caractère ordonné du couple est essentiel. L’ordre dans lequel les deux composants apparaissent reflète leurs rôles distincts : la notion est le premier composant, le contexte est le second. L’occurrence (n, c) est par convention distincte de l’occurrence (c, n) au sens où le premier composant est toujours la notion et le second toujours le contexte.

∀ω ∈ Ω, ∃!n ∈ 𝓝, ∃!c ∈ 𝓚 tels que ω = (n, c).

Cette propriété signifie que l’occurrence porte en elle-même l’identité de ses deux composants : on peut, à partir de ω, retrouver de manière univoque la notion n et le contexte c qui la composent.

2.4 Conséquences

Lemme 5.1 : Une notion est un élément de 𝓝, distinct de toute occurrence.

Démonstration. Une occurrence est par définition un couple ordonné ω = (n, c) avec n ∈ 𝓝 et c ∈ 𝓚. Une notion n prise isolément est un élément de 𝓝, ensemble disjoint de Ω. Elle ne peut donc pas être une occurrence. Elle est susceptible d’entrer dans la formation d’occurrences par appariement avec des contextes, mais en tant que notion seule, elle conserve son statut d’élément de 𝓝. ∎

Lemme 5.2 : Un contexte est un élément de 𝓚, distinct de toute occurrence.

Démonstration. Symétriquement au lemme 5.1, un contexte κ pris isolément est un élément de 𝓚, ensemble disjoint de Ω. Il est susceptible d’accueillir des notions par appariement, mais en tant que contexte seul, il conserve son statut d’élément de 𝓚. ∎

Lemme 5.3 : Chacun des deux composants d’une occurrence conserve une identité propre dans son ensemble d’origine.

Démonstration. Conséquence directe des lemmes 5.1 et 5.2. La notion existe comme élément de 𝓝, et elle conserve cette appartenance même lorsqu’elle entre dans la formation d’une occurrence. Le contexte existe comme élément de 𝓚, et il conserve cette appartenance même lorsqu’il accueille une notion. L’occurrence est constituée par l’appariement des deux, qui produit un nouvel objet sans absorber ses composants. ∎

Proposition 5.4 : La cardinalité de Ω est le produit des cardinalités de 𝓝 et de 𝓚.

Démonstration. Par définition, Ω est le produit cartésien 𝓝 × 𝓚. La cardinalité d’un produit cartésien est le produit des cardinalités des ensembles facteurs. La proposition formalise cette propriété ensembliste classique. Elle a pour conséquence que Ω est généralement très vaste, puisqu’il contient toutes les combinaisons possibles entre notions et contextes, indépendamment de la pertinence ou de la signifiance de ces combinaisons. ∎

Théorème 5.5 (dualité constitutive) : L’occurrence est l’appariement ordonné de la notion et du contexte, et elle constitue un objet d’une nature distincte de celle de ses composants.

Démonstration. La théorie distingue trois types d’objets : les notions (𝓝), les contextes (𝓚), et les occurrences (Ω = 𝓝 × 𝓚). L’occurrence appartient à un ensemble disjoint des deux ensembles atomiques, par construction du produit cartésien. Les lemmes 5.1, 5.2 et 5.3 ont établi que les composants conservent leur identité propre dans leurs ensembles d’origine. La proposition 4.3 a établi l’indépendance des deux ensembles atomiques. Il s’ensuit que l’occurrence est un objet d’une nature propre : elle est l’appariement ordonné qui unit notion et contexte, et cet appariement est lui-même la donnée structurante. La théorie affirme ainsi la dualité constitutive de l’occurrence, qui se distingue des approches monistes (qui réduiraient tout à la notion ou tout au contexte) et des approches additives (qui poseraient la notion et le contexte côte à côte sans les articuler). ∎

2.5 Commentaire

L’occurrence est la première construction qui articule les deux atomes premiers. Cette articulation produit un nouvel objet, l’appariement ordonné, qui possède une nature propre distincte de la notion et du contexte pris isolément. Cette construction a une portée philosophique considérable.

Elle traduit dans le formalisme la décision posée dans l’avant-propos selon laquelle les objets sont saisis à travers des occurrences situées, définies relativement à un contexte. Une notion considérée hors de tout contexte est, dans la perspective de la théorie, un objet abstrait dont la manifestation effective requiert encore d’être située. Un contexte considéré sans aucune notion qu’il accueille est une enveloppe en attente. L’occurrence, par l’articulation des deux, manifeste effectivement quelque chose dans le régime considéré.

Le théorème 5.5 sur la dualité constitutive est l’aboutissement de cette section. Il établit formellement que l’occurrence est un objet de nature propre, irréductible à la simple juxtaposition de ses composants. La théorie maintient les deux pôles (notion et contexte) distincts, et fait de leur articulation l’objet premier de son discours. Cette posture se distingue des approches qui prétendraient absorber l’occurrence dans la notion (au prix d’une décontextualisation qui efface la situation) ou dans le contexte (au prix d’une dissolution de la notion dans son cadre).

La proposition 5.4 sur la cardinalité de Ω mérite une attention particulière. Le produit cartésien produit toutes les combinaisons possibles, indépendamment de leur pertinence. La plupart de ces combinaisons sont, dans la pratique, des occurrences sans sens : leur notion ne s’inscrit pas dans leur contexte, et elles ne portent donc pas de signification opérante. La théorie reconnaît cet état de fait sans s’en alarmer : la richesse formelle de Ω est précisément ce qui permet de distinguer les occurrences signifiantes (qui constituent un sous-ensemble strict de Ω) des occurrences vides (qui constituent le reste). Cette distinction sera formalisée dans la Section 5.

2.6 Exemples multidomaines

En mathématiques. L’occurrence (« nombre premier », contexte de la théorie élémentaire des nombres) est un couple ordonné qui articule la notion de nombre premier avec un contexte axiomatique précis. La même notion peut former une autre occurrence avec un autre contexte : par exemple, (« nombre premier », contexte de la théorie analytique des nombres). Les deux occurrences partagent leur première composante mais diffèrent par leur seconde, et elles ne sont donc pas identiques. Le théorème de répartition des nombres premiers est un résultat qui ne tient que dans certaines de ces occurrences, ce qui montre concrètement la pertinence de la dualité constitutive.

En physique. L’occurrence (« énergie cinétique », contexte de la mécanique classique) articule la notion d’énergie cinétique avec un contexte théorique précis, dans lequel elle s’exprime par la formule E = ½mv². L’occurrence (« énergie cinétique », contexte de la relativité restreinte) articule la même notion avec un autre contexte, dans lequel l’expression devient E = (γ - 1)mc². Les deux occurrences ne sont pas identiques : la même notion adopte des expressions différentes selon le contexte. La dualité constitutive permet de comprendre pourquoi la formule classique demeure utilisable dans le contexte des faibles vitesses, sans pour autant être universellement valide.

En organisations complexes. L’occurrence (« délégation de signature », contexte du directeur général en exercice) articule la notion de délégation avec un contexte personnel et institutionnel précis. La même notion forme une autre occurrence avec un autre directeur, ou avec le même directeur dans une période de mandat différente. Les deux occurrences ne sont pas identiques même si elles partagent la même notion : les conditions d’inscription, les pouvoirs effectifs, les contraintes attachées varient avec le contexte. La dualité constitutive permet de comprendre pourquoi l’analyse organisationnelle se déploie toujours dans le contexte spécifique de chaque situation.

En systèmes d’information. L’occurrence (« identifiant client X », contexte de la base de production active) articule un identifiant précis avec un contexte d’usage précis. La même notion d’identifiant peut former une autre occurrence avec le contexte d’archivage, ou avec le contexte d’une migration en cours. Les trois occurrences ne sont pas identiques même si elles partagent la même notion : dans le contexte de production, l’identifiant est manipulable ; dans le contexte d’archivage, il est consultable mais non modifiable ; dans le contexte de migration, il peut être en cours de transformation. La dualité constitutive est ici directement opérationnelle : elle distingue ce qu’un même identifiant signifie selon le régime d’usage qui l’accueille.

Section 3 — La relation primitive d’inscription

3.1 Notations en présence

Dans cette section interviennent : 𝓝 l’ensemble des notions, 𝓚 l’ensemble des contextes.

La relation d’inscription est notée ▶.

3.2 Énoncé condensé

Définition 6 (inscription) : L’inscription est la relation primitive qui peut tenir entre une notion et un contexte.

Formellement :

▶ ⊆ 𝓝 × 𝓚.

Pour n ∈ 𝓝 et c ∈ 𝓚, on note n ▶ c, qui se lit n s’inscrit dans c.

3.3 Énoncé détaillé

L’inscription est une relation binaire entre une notion et un contexte. Elle exprime que la notion devient effective dans le contexte considéré. Cette effectivité est une condition relationnelle qui peut tenir ou ne pas tenir selon les régimes d’observation, plutôt qu’une propriété intrinsèque de la notion ou du contexte pris isolément.

Formellement, pour toute notion n et tout contexte c, l’inscription n ▶ c est une assertion qui peut être vraie ou fausse. Quand elle est vraie, on dit que n s’inscrit effectivement dans c. Quand elle est fausse, on dit que n ne s’inscrit pas dans c, sans pour autant que cela exclue la possibilité qu’elle s’inscrive dans un autre contexte.

L’inscription possède trois propriétés caractéristiques par défaut :

R6 (variabilité contextuelle) : La satisfaction de la relation d’inscription peut varier selon le régime d’observation. Une même paire (n, c) peut satisfaire l’inscription dans un régime et ne pas la satisfaire dans un autre.

R7 (non-déductibilité) : La satisfaction de l’inscription n ▶ c ne se déduit ni de la nature intrinsèque de n, ni de la nature intrinsèque de c, considérées isolément. Elle se constate par l’examen du couple en situation.

R8 (asymétrie de rôle) : L’inscription est dirigée de la notion vers le contexte. La notion s’inscrit dans le contexte. Cette asymétrie reflète la distinction entre ce qui se manifeste (la notion) et ce dans quoi cela se manifeste (le contexte).

3.4 Conséquences

Lemme 6.1 : L’inscription est une relation primitive irréductible.

Démonstration. La relation ▶ est posée directement comme relation primitive, dont la satisfaction est elle-même une donnée première du régime considéré. Elle se distingue ainsi des relations construites par opérations sur les éléments de 𝓝 ou de 𝓚, ou par combinaison de propriétés intrinsèques de ces éléments. Cette irréductibilité reflète le caractère originaire de la signifiance, qui ne se décompose pas en propriétés des composants. ∎

Lemme 6.2 : L’inscription est contextuellement variable.

Démonstration. La régularité R6 énonce cette variabilité par défaut. Une démonstration formelle peut être conduite par contre-exemple : il existe des couples (n, c) tels que n ▶ c soit vrai dans un régime κ_α et faux dans un autre régime κ_β. Les exemples multidomaines de la Section 1.6 et de la présente section illustrent ce phénomène. La variabilité de l’inscription est conforme au régime énonciatif contextuel adopté par l’ouvrage. ∎

Proposition 6.3 : L’inscription est dirigée de la notion vers le contexte.

Démonstration. La régularité R8 énonce cette asymétrie de rôle. Plus formellement, l’inscription est définie sur 𝓝 × 𝓚, donc orientée de 𝓝 vers 𝓚. Une relation inverse, qui serait définie sur 𝓚 × 𝓝, constituerait une autre relation, distincte de l’inscription primitive. Dans certains contextes particuliers où une notion peut être considérée comme un contexte (par exemple en méta-analyse), une relation symétrique peut être posée, mais elle est alors une relation propre à ce contexte particulier, distincte de l’inscription primitive. ∎

Théorème 6.4 (inscription comme condition de manifestation) : La satisfaction de la relation d’inscription par une notion dans un contexte est la condition nécessaire pour que cette notion se manifeste effectivement dans ce contexte.

Démonstration. Une notion qui satisfait l’inscription dans un contexte κ se manifeste dans κ par la satisfaction même de cette relation. À l’inverse, une notion qui ne satisfait l’inscription dans aucun contexte ne se manifeste dans aucun régime, donc n’est pas accessible à l’analyse théorique. La satisfaction de l’inscription est ainsi la condition de manifestation. Le théorème articule l’inscription avec le rôle constitutif des contextes établi dans la Partie I : ce qui se manifeste, se manifeste toujours dans un contexte, et c’est l’inscription qui établit la jonction entre la notion et le contexte. ∎

3.5 Commentaire

L’inscription est la deuxième relation primitive de la théorie, après la pertinence contextuelle introduite dans la Partie I. Elle est plus restrictive que la pertinence : la pertinence concerne toute entité (y compris les contextes eux-mêmes), tandis que l’inscription concerne spécifiquement les notions et les contextes. Cette spécificité fait de l’inscription la relation qui fonde la signifiance, comme on le verra dans la Section 4.

La distinction entre pertinence contextuelle et inscription mérite d’être maintenue avec rigueur. La pertinence contextuelle dit qu’une entité est manifestée dans un contexte ; elle est large et s’applique à toute entité. L’inscription dit qu’une notion s’inscrit dans un contexte ; elle est plus précise et concerne spécifiquement le rapport notion-contexte qui forme l’occurrence. Toute inscription implique une pertinence (si une notion s’inscrit dans un contexte, elle y est pertinente), mais la pertinence ne se réduit pas à l’inscription (une entité peut être pertinente sans être une notion qui s’inscrit).

Le lemme 6.1 sur l’irréductibilité de l’inscription est important. Il pose que la signifiance se reconnaît, se constate, se manifeste, mais qu’elle ne se calcule pas à partir des seules propriétés des composants. Cette caractéristique reflète la dimension proprement relationnelle de la théorie : ce qui compte est la relation effective qui unit les objets, plutôt que la nature intrinsèque des objets pris isolément.

Le théorème 6.4 articule l’inscription avec la pertinence contextuelle de la Partie I. Il établit que l’inscription est ce qui rend une notion effectivement manifeste dans un contexte. Avec inscription, la notion devient opérante dans le contexte, et son occurrence devient signifiante.

3.6 Exemples multidomaines

En mathématiques. La notion d’« objet identité » s’inscrit dans le contexte d’une catégorie complète, où elle satisfait les axiomes de la catégorie. Elle ne s’inscrit pas dans le contexte d’une catégorie incomplète où l’identité n’a pas été définie. La même notion, parfaitement formulée, s’inscrit ou non selon que le contexte fournit les conditions de son effectivité. L’inscription se manifeste comme satisfaction effective d’une relation par le couple (notion, contexte), au-delà de la formulation de la notion seule.

En physique. La notion de « vitesse de la lumière dans le vide » s’inscrit dans le contexte de l’électromagnétisme ou de la relativité restreinte, où elle est définie comme constante universelle. Elle ne s’inscrit pas dans le contexte d’un milieu matériel où la lumière se propage à une vitesse différente. La même notion, qui désigne une grandeur physique précise, ne tient son statut que dans certains contextes. L’inscription est ici directement opérationnelle : elle conditionne la validité des énoncés où la notion intervient.

En organisations complexes. La notion de « droit de signature » s’inscrit dans le contexte d’un agent porteur d’une délégation effective. Elle ne s’inscrit pas dans le contexte d’un agent qui n’a pas reçu cette délégation, ou dont la délégation a été suspendue. La même notion juridique conditionne ou ne conditionne pas la validité des actes, selon que l’inscription tient ou non. La gestion organisationnelle consiste précisément à maintenir la cohérence des inscriptions, en s’assurant que les notions qui doivent tenir tiennent effectivement dans les contextes où elles sont mobilisées.

En systèmes d’information. La notion d’« autorisation de lecture » s’inscrit dans le contexte d’un utilisateur disposant des droits d’accès appropriés. Elle ne s’inscrit pas dans le contexte d’un utilisateur dont les droits ont été révoqués, ou dont la session est expirée. La même notion technique, formellement définie, ne tient son effectivité que dans certains contextes. L’inscription conditionne l’effectivité de l’autorisation, et c’est l’inscription qui distingue un système opérant d’un système incohérent.

Section 4 — Le sens d’une occurrence

4.1 Notations en présence

Dans cette section interviennent : 𝓝 l’ensemble des notions, 𝓚 l’ensemble des contextes, Ω = 𝓝 × 𝓚 le domaine des occurrences, ▶ la relation primitive d’inscription définie sur 𝓝 × 𝓚.

Une occurrence ω est notée (n, c) avec n ∈ 𝓝 et c ∈ 𝓚.

4.2 Énoncé condensé

Définition 7 (sens d’une occurrence) : Une occurrence ω possède un sens si et seulement si la relation d’inscription tient entre ses composants.

ω possède un sens ⟺ n ▶ c.

4.3 Énoncé détaillé

Le sens d’une occurrence est la satisfaction effective de la relation d’inscription par les composants de l’occurrence. Dire qu’une occurrence ω = (n, c) possède un sens, c’est dire que la notion n s’inscrit effectivement dans le contexte c, c’est-à-dire que la relation n ▶ c est satisfaite.

Cette définition a plusieurs conséquences immédiates qui méritent d’être explicitées.

Premièrement, le sens d’une occurrence dépend de l’inscription, qui est elle-même contextuellement variable (régularité R6). Une même occurrence peut posséder un sens dans un régime d’observation et ne pas en posséder dans un autre, sans que ses composants formels aient été modifiés.

Deuxièmement, le sens d’une occurrence est constitué par la relation entre les composants. L’occurrence (n, c) sans inscription est formellement présente comme couple, mais elle ne porte pas la qualification relationnelle qui ferait d’elle une occurrence signifiante.

Troisièmement, la définition du sens repose entièrement sur l’inscription primitive. Cette dépendance reflète le caractère originaire de la signifiance dans la théorie : la signifiance se constate par la satisfaction d’une relation primitive, plutôt qu’elle ne se déduit d’autres concepts.

4.4 Conséquences

Lemme 7.1 : Le sens d’une occurrence est contextuellement variable.

Démonstration. Soit ω = (n, c) une occurrence. Le sens de ω équivaut à la satisfaction de n ▶ c. La régularité R6 (variabilité contextuelle de l’inscription) énonce que la satisfaction de l’inscription peut varier selon le régime d’observation. Il s’ensuit que le sens de ω peut varier de la même manière. Une occurrence peut posséder un sens dans κ_α et ne pas en posséder dans κ_β, sans que ses composants n et c aient été modifiés. ∎

Lemme 7.2 : Une occurrence sans sens existe formellement comme couple, sans porter de signification opérante.

Démonstration. Soit ω = (n, c) une occurrence telle que ¬(n ▶ c). L’occurrence ω existe en tant que couple ordonné, donc en tant qu’élément de Ω. Elle est dénombrable, identifiable, manipulable syntaxiquement. Le théorème 6.4 a établi que l’inscription est la condition de manifestation effective. Sans inscription, la notion ne se manifeste pas dans le contexte, et l’occurrence reste sans signification opérante. Elle est formellement présente comme combinaison de couple, et elle attend qu’un changement de contexte ou d’inscription la rende signifiante. ∎

Proposition 7.3 : Une occurrence qui ne possède pas de sens est dite occurrence vide.

Démonstration. La proposition est posée par convention, fondée sur les acquis précédents. Une occurrence vide est par définition un couple (n, c) tel que ¬(n ▶ c). L’ensemble des occurrences vides est le complémentaire dans Ω des occurrences qui possèdent un sens, et il sera caractérisé plus précisément dans la Section 5. ∎

Théorème 7.4 (le sens comme satisfaction relationnelle) : Le sens d’une occurrence est la satisfaction effective de la relation primitive d’inscription par les composants de l’occurrence.

Démonstration. La théorie distingue trois niveaux : la notion comme élément de 𝓝, le contexte comme élément de 𝓚, l’occurrence comme élément de Ω = 𝓝 × 𝓚. Le sens est défini comme l’équivalent de la satisfaction de la relation n ▶ c par les composants. C’est donc une qualification relationnelle, qui se distingue d’une propriété intrinsèque de la notion seule, d’une propriété intrinsèque du contexte seul, ou d’un attribut additionnel ajouté à l’occurrence considérée comme objet. Cette caractérisation est cohérente avec le principe d’orientation énoncé dans l’avant-propos selon lequel les propriétés habituellement considérées comme primitives apparaissent comme des effets conditionnels. ∎

4.5 Commentaire

Le théorème 7.4 sur le sens comme satisfaction relationnelle est un résultat central de la Partie II. Il établit que la signifiance est une caractérisation relationnelle qui dépend de l’effectivité d’une relation primitive entre composants. Cette caractérisation a des conséquences philosophiques importantes.

La théorie pose le sens comme constitué par la relation effective. Cette posture se distingue des approches qui poseraient le sens comme une propriété intrinsèque, présente ou absente une fois pour toutes : si le sens était intrinsèque, il devrait pouvoir se constater par examen des seuls composants, ce que le lemme 6.1 a exclu. Elle se distingue également des approches qui poseraient le sens comme un attribut additionnel, ajouté à l’occurrence après coup : la théorie pose le sens comme directement constitué par l’inscription, sans étape intermédiaire de qualification.

La caractérisation relationnelle du sens permet de comprendre pourquoi le sens est contextuellement variable (lemme 7.1). Une relation peut tenir dans un régime et ne pas tenir dans un autre, parce que les conditions d’effectivité de la relation peuvent varier. Le sens hérite de cette variabilité, ce qui le rend dynamique. Cette dynamicité du sens est ce qui rend possible, dans la suite de la théorie, la dormance et le réveil d’occurrences signifiantes selon les contextes d’observation.

Le lemme 7.2 sur les occurrences sans sens mérite d’être souligné. Il établit la distinction entre l’existence formelle d’une occurrence et son existence sémantique. Une occurrence vide existe en tant que couple ordonné dans Ω, et elle attend les conditions qui la rendraient signifiante. Cette distinction entre existence formelle et existence sémantique est constitutive de la théorie : elle permet de penser ensemble la richesse combinatoire de Ω et la rareté des occurrences effectivement signifiantes.

4.6 Exemples multidomaines

En mathématiques. L’occurrence (« théorème de Pythagore », contexte de la géométrie euclidienne) possède un sens : la notion s’inscrit effectivement dans ce contexte, qui fournit les axiomes (en particulier le cinquième postulat) nécessaires à la validité du théorème. La même notion forme une occurrence avec le contexte de la géométrie hyperbolique, et cette occurrence ne possède pas de sens au même titre : le théorème de Pythagore n’est pas valide dans ce contexte, parce que les conditions d’inscription ne sont pas satisfaites. Les deux occurrences existent formellement, et seule la première porte un sens dans son contexte.

En physique. L’occurrence (« simultanéité absolue », contexte de la mécanique classique) possède un sens : la notion s’inscrit dans ce contexte qui présuppose l’existence d’un temps universel. La même notion forme une occurrence avec le contexte de la relativité restreinte, et cette occurrence ne possède pas de sens : la relativité de la simultanéité, démontrée par Einstein, montre que l’inscription échoue dans ce contexte. La notion peut être nommée, écrite, manipulée syntaxiquement, sans pour autant opérer dans le contexte relativiste. Le sens dépend ici directement du régime théorique considéré.

En organisations complexes. L’occurrence (« autorisation de validation », contexte d’un cadre disposant de la délégation requise et exerçant ses fonctions dans la période de validité) possède un sens : la notion s’inscrit effectivement, et l’autorisation est opérante. La même notion forme une occurrence avec le contexte d’un agent en congé sans suppléance désignée, et cette occurrence ne possède pas de sens : l’autorisation existe nominalement, et elle attend que les conditions d’inscription (présence effective, délégation active) soient à nouveau satisfaites pour redevenir opérante. La gestion des autorisations consiste précisément à maintenir le sens de ces occurrences, en s’assurant que l’inscription tient effectivement dans les contextes opérants.

En systèmes d’information. L’occurrence (« requête SELECT sur la table CLIENTS », contexte d’un utilisateur authentifié disposant des droits de lecture sur cette table) possède un sens : la requête est exécutable, elle retourne les données demandées. La même requête forme une occurrence avec le contexte d’un utilisateur dont la session a expiré, et cette occurrence ne possède pas de sens : le système refuse l’exécution parce que les conditions d’inscription (authentification valide, droits actifs) ne sont pas satisfaites. La même chaîne de caractères, formellement valide en SQL, opère ou n’opère pas selon le contexte d’exécution.

Section 5 — Le domaine signifiant

5.1 Notations en présence

Dans cette section interviennent : 𝓝 l’ensemble des notions, 𝓚 l’ensemble des contextes, Ω = 𝓝 × 𝓚 le domaine des occurrences, ▶ la relation primitive d’inscription définie sur 𝓝 × 𝓚.

Le domaine signifiant est noté Ω^s.

5.2 Énoncé condensé

Définition 8 (domaine signifiant) : Le domaine signifiant est l’ensemble des occurrences qui possèdent un sens.

Formellement :

Ω^s := {ω ∈ Ω | ω possède un sens}.

Par la définition 7 du sens, cela équivaut à :

Ω^s := {(n, c) ∈ 𝓝 × 𝓚 | n ▶ c}.

5.3 Énoncé détaillé

Le domaine signifiant Ω^s est un sous-ensemble du domaine des occurrences Ω. Il rassemble exactement les occurrences pour lesquelles l’inscription tient effectivement entre les composants.

où Ω Ω^s désigne le complémentaire des occurrences signifiantes dans Ω, c’est-à-dire l’ensemble des occurrences vides.

Cette partition est exhaustive et disjointe. Toute occurrence appartient soit au domaine signifiant, soit au complémentaire des occurrences vides. La satisfaction ou la non-satisfaction de l’inscription est, dans un contexte d’observation donné, déterminée univoquement, ce qui assure la nature partitionnaire de la décomposition.

5.4 Conséquences

Lemme 8.1 : Le domaine signifiant Ω^s dépend du contexte d’observation.

Démonstration. Le domaine signifiant est défini par la satisfaction de l’inscription. La régularité R6 énonce que la satisfaction de l’inscription est contextuellement variable. Il s’ensuit que le domaine signifiant peut varier selon le contexte d’observation : une occurrence appartient à Ω^s dans un régime κ_α et n’y appartient pas dans un régime κ_β. Le domaine signifiant est ainsi un objet relatif au régime de manifestation. ∎

Lemme 8.2 : Le domaine signifiant comporte généralement des éléments effectifs.

Démonstration. La pratique de la théorie présuppose l’existence d’occurrences signifiantes dans le régime considéré : toute analyse théorique porte sur des éléments de Ω^s. Le lemme énonce cette condition d’effectivité comme une régularité du contexte ordinaire d’usage : Ω^s ≠ ∅ dans κ₀. La condition peut être suspendue dans des contextes hypothétiques d’analyse purement formelle, qui se situent en dehors du régime opératoire de la théorie. ∎

Proposition 8.3 : Le domaine signifiant est en général un sous-ensemble strict de Ω.

Démonstration. La cardinalité de Ω est le produit des cardinalités de 𝓝 et de 𝓚 (proposition 5.4). La cardinalité de Ω^s est inférieure ou égale à celle de Ω, car Ω^s est un sous-ensemble de Ω. Dans la pratique, la plupart des combinaisons de notion et de contexte ne satisfont pas l’inscription : une notion mathématique ne s’inscrit pas dans un contexte organisationnel, et inversement. Il s’ensuit que Ω^s est strictement inclus dans Ω dans la quasi-totalité des régimes. La proposition formalise cette inégalité comme régularité par défaut. ∎

Théorème 8.4 (économie de la signifiance) : Dans un régime donné, la signifiance est rare relativement à la combinatoire des occurrences.

Démonstration. Conséquence directe de la proposition 8.3. Le théorème énonce un résultat qualitatif : sur l’ensemble vaste de toutes les combinaisons possibles entre notions et contextes, seul un sous-ensemble restreint produit des occurrences signifiantes. Cette rareté est la conséquence du caractère sélectif de l’inscription, qui ne tient que dans certaines configurations. La signifiance est précieuse précisément parce qu’elle se produit dans des configurations spécifiques, et non en toute combinaison. ∎

5.5 Commentaire

Le domaine signifiant est l’objet sur lequel porte effectivement la théorie. Toute la suite du développement (admissibilité, mouvement, stabilité, lisibilité) concerne des occurrences signifiantes, c’est-à-dire des éléments de Ω^s. Les occurrences vides existent formellement dans Ω, et elles interviennent dans le discours théorique à titre de contraste, pour distinguer ce qui se manifeste effectivement de ce qui ne se manifeste pas dans le régime considéré.

Le théorème 8.4 sur l’économie de la signifiance mérite une attention particulière. Il établit que la signifiance est rare, ce qui peut surprendre dans une théorie qui se veut générale. Cette rareté est une caractéristique structurelle, qui reflète le fait que la théorie est sélective : elle distingue ce qui s’inscrit effectivement de ce qui ne s’inscrit pas, et c’est cette distinction qui rend la théorie opératoire. Une théorie où toutes les occurrences seraient signifiantes serait une théorie sans sélectivité, où la signifiance perdrait son caractère discriminant.

Le lemme 8.1 sur la dépendance contextuelle du domaine signifiant est important pour la suite de l’ouvrage. Il prépare le terrain de la dormance et du réveil, qui seront traités dans les parties ultérieures. Une occurrence qui appartient à Ω^s dans un régime peut sortir de Ω^s dans un autre régime, sans perdre pour autant son existence formelle dans Ω. Cette possibilité de sortie et de retour fonde la dynamique des occurrences signifiantes à travers les contextes : elles peuvent migrer, dormir, se réveiller selon les variations contextuelles.

La distinction entre Ω et Ω^s, posée formellement dans cette section, sera mobilisée systématiquement dans la suite. Toutes les définitions ultérieures portant sur des occurrences se restreindront, sauf mention contraire, au domaine signifiant. Cette restriction est la reconnaissance que la théorie porte sur ce qui se manifeste effectivement, plutôt que sur la combinatoire formelle pure.

5.6 Exemples multidomaines

En mathématiques. Dans le contexte de la théorie des ensembles ZFC, le domaine signifiant Ω^s comprend les occurrences (notion mathématique, contexte ZFC) où la notion est effectivement définie et utilisable dans ce cadre axiomatique. La notion d’« ensemble universel » ne fait pas partie de Ω^s dans le contexte ZFC, parce que cette notion produit des paradoxes (paradoxe de Russell) et n’est donc pas inscriptible dans ce contexte. La même notion peut faire partie de Ω^s dans le contexte de théories axiomatiques alternatives qui restreignent ou modifient les axiomes. La rareté de la signifiance s’illustre ici : sur l’ensemble vaste des combinaisons possibles de notions et de contextes axiomatiques, seules certaines produisent des occurrences signifiantes.

En physique. Dans le contexte de la mécanique quantique, le domaine signifiant comprend les occurrences (notion physique, contexte quantique) où la notion s’applique effectivement. Les notions classiques de « trajectoire bien définie » ou de « position simultanée à une vitesse précise » ne font pas partie de Ω^s dans le contexte quantique, parce qu’elles violent le principe d’indétermination. La même notion forme des occurrences signifiantes dans d’autres contextes (mécanique classique, optique géométrique). Le domaine signifiant varie ainsi avec le contexte d’observation, et la pratique scientifique consiste précisément à reconnaître quelles occurrences sont signifiantes dans le régime considéré.

En organisations complexes. Dans le contexte d’une entreprise en activité normale, le domaine signifiant comprend les occurrences (notion organisationnelle, contexte d’activité courante) où la notion s’inscrit effectivement. La notion de « validation par le directeur général » fait partie de Ω^s dans ce contexte si le DG est en fonction et opérationnel. Elle peut sortir de Ω^s en cas de vacance du poste, sans pour autant disparaître formellement : la procédure de validation existe encore dans les manuels, et elle attend que le contexte (présence effective d’un DG en fonction) la rende à nouveau opérante. Le domaine signifiant suit ainsi les variations effectives de l’organisation, et l’analyse organisationnelle consiste à identifier ce qui appartient à Ω^s à un moment donné.

En systèmes d’information. Dans le contexte d’usage d’un système en production, le domaine signifiant comprend les occurrences (fonctionnalité, contexte d’usage actif) où la fonctionnalité est effectivement opérante. Une fonctionnalité désactivée temporairement (par exemple lors d’une maintenance) sort de Ω^s pendant la durée de la maintenance, et y revient lorsque le système est à nouveau opérationnel. Une fonctionnalité supprimée définitivement (au sens d’un retrait du code) reste dans Ω formel et sort de Ω^s, sauf si une réactivation contextuelle est prononcée. Le domaine signifiant est ici directement l’ensemble des fonctionnalités effectivement disponibles à un moment donné.

Section 6 — Articulation avec les autres parties de l’ouvrage

La présente partie pose les atomes premiers et la première construction dérivée (l’occurrence) sur lesquels reposera tout le développement ultérieur. Elle articule plusieurs développements antérieurs et fonde plusieurs développements ultérieurs.

6.1 Articulation avec la Partie I

La Partie II prolonge directement la Partie I. Là où la Partie I avait posé le contexte comme horizon constitutif et la pertinence contextuelle comme relation primitive entre entités et contextes, la Partie II spécifie l’un des types d’entités les plus fondamentaux (la notion) et introduit la relation d’inscription qui est plus restrictive que la pertinence. Toute inscription implique une pertinence (une notion qui s’inscrit dans un contexte y est pertinente), et la pertinence excède l’inscription en s’appliquant à toute entité, pas seulement aux notions.

La convention de notation contextuelle implicite, posée dans la Partie I, s’applique à toutes les définitions et résultats de la Partie II. Les énoncés sur les notions, les contextes, les occurrences, l’inscription, le sens et le domaine signifiant sont tous posés dans le contexte ordinaire d’usage κ₀, sauf mention contraire.

6.2 Articulation avec les parties ultérieures

La Partie II prépare l’introduction du domaine effectif et des occurrences admissibles dans la Partie III. Le domaine effectif Ω* sera défini comme un sous-ensemble du domaine signifiant Ω^s, restreint par des conditions d’admissibilité contextuelles supplémentaires. Cette construction s’appuie sur les acquis de la présente partie.

Elle prépare également l’introduction du mouvement dans la Partie IV. Le mouvement sera défini comme relation primitive sur Ω*, c’est-à-dire sur des occurrences déjà signifiantes et admissibles. La signifiance des occurrences, fondée sur l’inscription, est donc un préalable nécessaire au déploiement de la dynamique du mouvement.

Plus loin, elle prépare l’introduction de la lisibilité dans la Partie IX. La condition de sens, première condition de la lisibilité, est exactement la satisfaction de l’inscription qui définit l’appartenance au domaine signifiant. La Partie II fournit donc le matériau formel sur lequel la condition de sens reposera dans la Partie IX.

6.3 Position dans la structure d’ensemble

La présente partie occupe la deuxième position dans l’ouvrage, immédiatement après la Partie I. Cette position reflète l’ordre de fondation conceptuelle : après avoir posé le contexte comme horizon, il convient de nommer les atomes premiers qui peuplent ce qui sera décrit, et de construire la première combinaison de ces atomes (l’occurrence) qui servira de support à toutes les analyses ultérieures.

La Partie II est ainsi le pivot par lequel la théorie passe de l’établissement de l’horizon contextuel à la construction des objets formels qui s’y manifestent. Sans elle, les parties ultérieures n’auraient pas leur matière première. Avec elle, le déploiement de la théorie peut commencer.

Section 7 — Conclusion de la partie

Les atomes premiers de la théorie sont les notions et les contextes. De leur appariement ordonné naît l’occurrence, premier objet dérivé qui articule les deux atomes en un couple irréductible. La relation primitive d’inscription, posée entre une notion et un contexte, fonde la signifiance des occurrences. Le sens d’une occurrence est la satisfaction effective de cette inscription. Le domaine signifiant est l’ensemble des occurrences qui possèdent un sens, et il constitue l’objet effectif sur lequel porte la théorie.

La présente partie a établi cinq acquis fondamentaux. Elle a posé 𝓝 et 𝓚 comme ensembles atomiques disjoints et ouverts (Section 1). Elle a construit Ω = 𝓝 × 𝓚 comme produit cartésien et établi l’occurrence comme couple ordonné dont chaque composant conserve une identité propre dans son ensemble d’origine (Section 2). Elle a introduit l’inscription ▶ comme relation primitive irréductible, asymétrique, contextuellement variable (Section 3). Elle a défini le sens d’une occurrence comme satisfaction relationnelle de l’inscription, posant ainsi une caractérisation relationnelle qui se distingue des approches substantialistes et additives (Section 4). Elle a caractérisé le domaine signifiant Ω^s comme sous-ensemble strict de Ω, dont la cardinalité reflète la rareté relative de la signifiance (Section 5).

Ces cinq acquis fournissent le socle sur lequel se construiront les parties ultérieures. Le domaine effectif des occurrences admissibles, le mouvement, la stabilité, les champs, la rupture, la compréhension, la succession, le régime, la lisibilité : tous ces concepts s’articuleront aux occurrences signifiantes dans Ω^s, et tous présupposeront que la signifiance ait été préalablement caractérisée.

La partie suivante introduira le domaine effectif Ω* et la notion d’admissibilité, qui restreindra le domaine signifiant aux occurrences pertinentes dans le régime d’observation courant. Elle fournira ainsi la transition entre la signifiance abstraite, fondée sur l’inscription, et l’opérativité concrète, qui exigera des conditions d’admissibilité supplémentaires.

— Fin de la Partie II —